逆矩阵的求法（伴随矩阵）

逆矩阵怎么求?

逆矩阵的求法：

1、利用定义求逆矩阵

设A、B都是n阶方阵， 如果存在n阶方阵B 使得AB=BA=E， 则称A为可逆矩阵， 而称B为A的逆矩阵。

2、运用初等行变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

3、增广矩阵法

如果要求逆的矩阵是A，则对增广矩阵（A E）进行初等行变换，E是单位矩阵，将A化到E，此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵，原理是 A逆乘以（A E）= （E A逆）初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。

4、待定系数法

待定系数法顾名思义就是对未知数进行求解。用一个新的包含未定因子的多项式来表达多项式，从而获得一个恒等式。接着，利用恒等式的特性，推导出一类系数必须满足的方程或方程，再由方程组或方程组得到待确定的系数，或确定各系数之间的对应关系，称为待定系数法。

求逆矩阵的简便方法

求逆矩阵的简便方法如下：

1、待定系数法。

2、伴随矩阵求逆矩阵。

3、初等变换求逆矩阵。

待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

伴随矩阵是矩阵元素所对应的代数余子式，所构成的矩阵，转置后得到的新矩阵。我们先求出伴随矩阵A*=-3，-2，1 , 1。接下来，求出矩阵A的行列式|A|=1*(-3) - (-1)* 2=-3+2=-1。从而逆矩阵A⁻¹=A*/|A| =A*/(-1)=-A*=3, 2，-1,-1。

初等变换求逆矩阵首先，写出增广矩阵A|E，即矩阵A右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。

1，2，1，0，-1，-3，0，1。然后进行初等行变换。依次进行第1行加到第2行，得到1，2，1，0，0，-1，1，1。第2行×2加到第1行，得到1，0，3，2，0，-1，1，1。第2行×(-1)，得到1，0，3，2，0，1，-1，-1。

怎么求逆矩阵?

逆矩阵求法有三种，分别是伴随矩阵法、初等变换法和待定系数法。

一、伴随矩阵法。根据逆矩阵的定义（对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B满足AB=BA=E，则A是可逆的。），可以得出逆矩阵的计算公式：A^(-1)=1/|A|乘以A*，其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。例题如下：

伴随矩阵法解题过程

注：用伴随矩阵法计算逆矩阵时需要运用代数余子式和余子式的相关知识，即代数余子式（Aij）和余子式（Mij），其中，i表示第几行，j表示第几列。

二、初等变换法。根据矩阵初等行变换的计算方式，然后引入单位矩阵E（矩阵对角线所对应的三个数字均为1，其他数字均为0的矩阵）。矩阵 A与单位矩阵E组成一个大矩阵，而后通过行变换将原来A的位置转变为E，此时，变换后的E就是所求的逆矩阵。

本人手写笔记

三、待定系数法。根据矩阵定义的推论，利用矩阵A乘以它的逆矩阵A^(-1)等于单位矩阵E的计算公式求得逆矩阵的方法。这种计算过程繁琐，需要列多组方程组，耗时，不建议使用。

题主可根据以上三种计算方法计算逆矩阵，希望对题主有帮助。